Ale to nie było jasne. Musieli przeanalizować określony zestaw funkcji, zwany sumami typu I i typu II, dla każdej wersji swojego problemu, a następnie wykazać, że sumy są równoważne niezależnie od zastosowanych ograniczeń. Dopiero wtedy Green i Sawhney odkryją, że mogą w swoim dowodzie zastąpić surowe liczby pierwsze bez utraty informacji.
Wkrótce zdali sobie sprawę: mogli wykazać, że sumy są równe, korzystając z narzędzia, z którym każdy z nich niezależnie spotkał się w poprzedniej pracy. Narzędzie to, znane jako norma Gowersa, zostało opracowane kilkadziesiąt lat temu przez matematyków Tymoteusz Govers Aby zmierzyć, jak losowa lub uporządkowana jest funkcja lub zbiór liczb. Na pierwszy rzut oka kryterium Gowersa wydawało się należeć do zupełnie innego obszaru matematyki. „Z zewnątrz prawie niemożliwe jest stwierdzenie, czy te rzeczy są ze sobą powiązane” – powiedział Sawhney.
Ale wykorzystując przełomowy wynik udowodniony przez matematyków w 2018 roku terence tao I Tamar ZieglerGreen i Sawhney znaleźli sposób na powiązanie kryteriów Gowersa z sumami typu I i II. Zasadniczo musieli zastosować kryteria Gowersa, aby wykazać, że ich dwa zestawy liczb pierwszych – zbiór zbudowany przy użyciu przybliżonych liczb pierwszych i zbiór zbudowany przy użyciu rzeczywistych liczb pierwszych – były wystarczająco podobne.
Jak się okazało, Sahni wiedział, jak to zrobić. Na początku tego roku, aby rozwiązać niepowiązany problem, opracował technikę porównywania zbiorów przy użyciu kryteriów Gowersa. Ku ich zaskoczeniu technika była na tyle dobra, że wykazała, że sumy wyników typu I i II były takie same w obu zestawach.
Mając to pod ręką, Green i Sawhney udowodnili hipotezę Friedlandera i Iwanieka: istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które można zapisać jako P2 +4Dlaczego2Ostatecznie udało im się rozszerzyć swój wynik, aby udowodnić, że istnieje również nieskończona liczba liczb pierwszych należących do innych rodzin typów. Wynik oznacza znaczący przełom w rozwiązaniu problemu, w przypadku którego postęp jest zwykle bardzo rzadki.
Co ważniejsze, praca ta pokazuje, że kryterium Gowersa może służyć jako potężne narzędzie w nowej dziedzinie. „Ponieważ jest to zjawisko tak nowe, przynajmniej w tej części teorii liczb, prawdopodobnie można z nim zrobić wiele innych rzeczy” – powiedział Friedlander. Matematycy mają teraz nadzieję jeszcze bardziej rozszerzyć zakres kryterium Gowersa, próbując wykorzystać je do rozwiązania innych problemów teorii liczb poza liczeniem liczb pierwszych.
„To dla mnie wielka przyjemność widzieć, że rzeczy, o których myślałem jakiś czas temu, mają nieoczekiwane nowe zastosowania” – powiedział Ziegler. „To tak, jakbyś był rodzicem, kiedy dajesz dziecku wolność, a ono dorasta i robi tajemnicze, nieoczekiwane rzeczy”.
oryginalna historia Przedrukowano za zgodą magazyn QuantaNiezależna redakcyjnie publikacja Fundacja Simonsa Jej misją jest zwiększanie zrozumienia nauki przez społeczeństwo poprzez uwzględnianie rozwoju badań i trendów w matematyce, naukach fizycznych i przyrodniczych.
